Обсуждаем вопросы, связанные с курсом геометрии 7-9 класса, и не только...

пятница, 22 апреля 2011 г.

Синус и косинус острого угла треугольника

Упражнения:
1. Строим острый угол по заданному синусу этого угла.
2. Строим острый угол по заданному косинусу этого угла.
3. По заданным длинам катетов ищем синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника.

воскресенье, 20 марта 2011 г.

Задачи для подготовки к итоговой контрольной работе

1. Найти сумму углов шестиугольника, семиугольника, одиннадцатиугольника.
2. Найти все углы параллелограмма, если один из них равен 132°.
3. Определить углы параллелограмма, если:
1) один из них больше другого на 70°;
2) один из них меньше другого в 11 раз;
3) сумма двух из них равна 82°.
4. Найти периметр параллелограмма, если известны две его стороны 5 м и 11 м.
5. Определить стороны параллелограмма, если:
1) его периметр равен 38 дм, а одна из сторон на 7 дм меньше другой
2) его периметр равен 60 м, а одна из сторон в 4 раза больше другой.
6. В параллелограмме BCDE диагонали пересекаются в точке М. Найти периметр треугольника ВСМ, если DE = 7 см, BD = 12 см, СЕ = 16 см.
7. Диагонали параллелограмма КМОР пересекаются в точке С. Доказать, что ΔКМС = ΔОРС.
8. В окружности проведены диаметры АB и СD. Доказать, что АBCD параллелограмм.
9. В параллелограмме АCDE на сторонах АE и CD отложены равные отрезки АК и DМ . Доказать, что ΔАКС = ΔDME.
10. В параллелограмме BDEF на сторонах BF и DE отложены равные отрезки BO и N. Доказать, что четырёхугольник ONEF также является параллелограммом.
11. Диагонали параллелограмма продолжены за вершины на одинаковую длину. Полученные точки последовательно соединены. Доказать, что образовавшийся четырёхугольник является параллелограммом.
13. На диагонали МК параллелограмма MNKO отложены равные отрезки МА и КВ. доказать, что ΔМАN = ΔКBO.
14. Начертить произвольный отрезок АВ. Разделить его на 5 равных частей.
15. Дана трапеция МРОК  с основаниями МК и ОР. Найти:
1) все углы трапеции, если  ÐК = 81°, ÐР = 110°;
2) ÐОРК и ÐРОМ, если ÐКМО = 54°, ÐМКР = 38°;
3) углы треугольника МКN (где N - точка пересечения диагоналей трапеции), если углы ОКР и РОМ соответственно равны 36° и 54°. 
16. Трапеция CDEF - равнобокая, CF и DE - её основания.
1) Найти все углы трапеции, если ÐЕ = α.
2) Доказать, что ΔFCE = ΔCDF.
3) Найти углы треугольника FCE, если известно, что ÐDEC = 60°.
17. Меньшее основание равнобокой трапеции равно боковой стороне и в 2 раза меньше другого основания. Найти углы трапеции.
18. Доказать, что диагонали равнобокой трапеции разбивают её на четыре треугольника, из которых два треугольника равны и два являются равнобедренными треугольниками.
19. В прямоугольнике АBCD проведена диагональ АC. Найти острые углы треугольника АBC, если один из них больше другого в 5 раз.
20. В прямоугольнике BCDЕ диагонали пересекаются в точке О. Найти отрезки ОD и ОВ, если диагональ ВD равна 17 см.
21. Точка пересечения диагоналей прямоугольника соединена с серединами двух соседних сторон. Определить:
1) вид отсекаемого четырёхугольника;
2) периметр отсекаемого четырёхугольника, если периметр данного прямоугольника равен 52 см.
22. В окружности с центром О проведены диаметры MK и NP.
1) Доказать, что MNKP - прямоугольник.
2) Найти углы треугольника MKP, если ÐМOР = 140°.
23. В прямоугольнике АBCD биссектриса угла D пересекает сторону АВ в точке М.
1) Доказать, что ΔADM - равнобедренный.
2) Найти периметр прямоугольника, если сторона АВ оказалась разбита на отрезки длиной 3 см и 5 см. Сколько решений имеет задача?
24. В прямоугольнике DEFK биссектриса угла D пересекает сторону EF в точке С, причём отрезок CF в 2 раза больше отрезка ЕС. Найти стороны прямоугольника, если периметр равен 32 см.
25. Найти периметр ромба, если его сторона равна 11 см .
26. Найти стороны ромба, если его периметр равен 30 см.
27. Найти все углы ромба, если они относятся как 1:3.
28. В ромбе CDEF проведена диагональ DF. Определить углы треугольника  CDF, если ÐСFЕ = 42°.
29. В ромбе проведены диагонали.
1)Доказать, что они разбивают ромб на четыре равных треугольника.
2) Найти боковые стороны этих треугольников, если диагонали равны12 см и 18 см.
3) Найти углы этих треугольников, если один из углов ромба равен α.
30. Доказать, что одна из диагоналей ромба равна его стороне, если один из углов ромба равен 120°.
31. В квадрате проведены диагонали.
1) Доказать, что они разбивают квадрат на четыре равных равнобедренных треугольника.
2) Найти углы этих треугольников.
32. В окружности с центром О проведены два взаимно перпендикулярных радиуса ОА и ОВ. Касательные, проходящие через точки А и В, пересекаются в точке С. Найти периметр четырёхугольника ОАСВ, если радиус окружности равен 23 см.
33. Построить квадрат по его диагонали.
34. В окружности проведены два взаимно перпендикулярных диаметра АС и BD. Определить вид четырёхугольника ABCD.
35. Диагонали ромба BCDE пересекаются в точке М, отрезок МК - перпендикуляр к стороне CD. Найти углы треугольника СМК, если ÐСВЕ = 82° .
36. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат, причём две его вершины лежат на гипотенузе и две - на катетах. Доказать, что гипотенуза в три раза больше стороны квадрата.
37. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О, из которой опущен перпендикуляр ОК на сторону ВС. Определить вид четырёхугольника АВКО и найти его углы.
38. В равнобокой трапеции DEFC  на большее основание DC опущены перпендикуляры ЕА и FB.
1) Доказать, что ΔDEA = ΔFCB.
2) Чему равны отрезки DA и CB, если EF = 8 см; CD =  30 см.
39. Начертить треугольник АВС. Построить симметричный ему треугольник
1) относительно вершины С;
2) относительно стороны АС.

пятница, 4 марта 2011 г.

Факты геометрии выпуклого четырёхугольника

Выпуклый четырехугольник — четырехугольник, который расположен по одну сторону от любой из своих сторон.
Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360^\circ .
Средняя линия — отрезок прямой, соединяющий середины противоположных сторон.
Средние линии четырехугольника в точке своего пересечения делятся пополам.
Теоремы:
  • Для того, чтобы в выпуклый четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма длин противоположных сторон были равны друг другу. Центр окружности — точка пересечения биссектрис.
  • Для того, чтобы вокруг выпуклого четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы противоположных углов были равны. Центр окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам четырехугольника.

среда, 2 марта 2011 г.


Четырехугольник
Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершины четырехугольника) и четырех последовательно соединяющих эти точки отрезков (стороны четырехугольника).
При этом:
1. никакие три данные точки не лежат на одной прямой;
2. соединяющие эти точки отрезки не должны пересекаться.
четырехугольник
Точки A, B, C, D – вершины четырехугольника.
Отрезки AB, BC, CD, DA – стороны четырехугольника.
Вершины четырехугольника называются соседними вершинами, если они являются концами одной из его сторон. Например, вершины A и B – соседние.
Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими вершинами. Например, вершины A и С – противолежащие.
Отрезки, которые соединяют противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями. AC и BD – диагонали четырехугольника.

Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними (смежными) сторонами. Например, AB и BC – соседние стороны.
Стороны не имеющие общих вершин, называются противолежащими сторонами. Например, AB и CD – противолежащие стороны.
Четырехугольник обозначается указанием его вершин, например ABCD. В обозначении четырехугольника стоящие рядом вершины должны быть соседними, т.е. обозначить четырехугольник ABDС нельзя (B и D – несоседние вершины).

четырехугольник

Четырехугольники A1B1C1D1 и ABCD отличаются тем, что у одного диагонали пересекаются, а у другого нет. Четырехугольники у которых диагонали пересекаются будем называть выпуклыми. Сумму длин всех сторон четырехугольника будем называть периметром.
P(ABCD) = AB + BC + CD + DA.

пятница, 28 января 2011 г.

Задачи на построение

1. Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в трёх заданных точках, не лежащих на одной прямой?
2. От параллелограмма осталось только три точки: вершина и середины двух противоположных сторон. Восстановите параллелограмм.

воскресенье, 2 января 2011 г.

Седьмая всероссийская олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина

В память о выдающемся деятеле российского математического образования, всемирно известном знатоке и патриоте элементарной геометрии Игоре Федоровиче Шарыгине (1937–2004) Математический институт им В.А. Стеклова РАН, Департамент образования города Москвы, Московский центр непрерывного математического образования, Московский институт открытого образования,Открытый лицей ВЗМШ, при поддержке компьютермаркета «НИКС» и АНО «Школа нового поколения», уже седьмой год проводят геометрическую олимпиаду. В оргкомитет и жюри олимпиады входят известные ученые, педагоги, энтузиасты математического просвещения из разных российских регионов.
Условия задач заочного тура Седьмой всероссийской олимпиады по геометрии имени И.Ф. Шарыгина опубликованы на странице

воскресенье, 26 декабря 2010 г.

О геометрии

Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение
(В. Произволов)