Зависимость между сторонами треугольника.
1.Может ли быть треугольник с такими сторонами: 1) 5 м, 10 м, 12 м; 2) 1 м, 2 м, 3,3 м; 3) 1,2 м, 1 м, 2,2 м?
2. Могут ли стороны треугольника относиться, как: 1) 1:2:3; 2) 2:3:4?
3. В треугольнике одна сторона равна 1,9 м, а другая — 0,7 м. Определить третью сторону, зная, что она выражается в целых метрах.
4. Периметр равнобедренного треугольника равен 1 м, а основание равно 0,4 м. Определить длину боковой стороны.
5. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 м, а другая —10 м. Какая из них служит основанием?
6. Медиана, проведённая к одной из боковых сторон равнобедренного треугольника, делит его периметр на две части длиной в 15 см и 6 см. Определить стороны треугольника.
7. Доказать, что в треугольнике каждая сторона менее половины периметра.
8. Доказать, что сумма расстояний какой-нибудь точки внутри треугольника до его вершин более половины периметра.
9. Внутри треугольника АВС проведена к стороне ВС прямая AD так, что угол CAD равен углу ACD. Периметры треугольников АВС и ABD равны 37м и 24 м. Определить длину АС.
10. В равнобедренном треугольнике АВС проведена высота BD. Периметр треугольника АВС равен 50 м, а периметр треугольника ABD равен 40 м. Определить высоту BD.
1. В треугольнике АВС даны углы А и В. Биссектрисы углов А и В пересекаются в точке J. Найди угол АJВ. Сделай вывод.
2. Могут ли биссектрисы двух углов треугольника быть перпендикулярными?
3. Докажи, что биссектрисы двух смежных углов перпендикулярны.
4. Докажи, что биссектрисы двух вертикальных углов являются дополнительными друг к другу.
5. Докажи, что биссектрисы двух тупых углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, параллельны.
6. При пересечении двух параллельных прямых секущей прямых углов не оказалось. Докажи, что биссектриса любого острого угла перпендикулярна биссектрисе любого тупого угла.
7. Докажи, что точка пересечения биссектрис двух углов треугольника лежит внутри треугольника.
8. В треугольнике АВС углы А и В равны. Докажи, что биссектриса внешнего угла при вершине С параллельна стороне АВ.
9. На стороне угла выбраны две точки, находящиеся на одинаковых сторонах от вершины. Через каждую из них проведена прямая, перпендикулярная соответствующей стороне угла. Докажи, что эти прямые пересекаются на биссектрисе угла.
Четырёхугольники.
1. Определить стороны четырёхугольника, если они относятся между собой, как 2:5:4:8, а периметр четырёхугольника равен 76 м.
2. Могут ли стороны четырёхугольника относиться, как 2:3:4:10?
3. 1) Построить четырёхугольник, стороны которого 1 см, 2 см, 3 см и 4 см, а диагональ, проходящая между первой и четвёртой сторонами, равна 2,6 см.
2) То же по четырём сторонам, равным 1,2 см, 1,8 см, 2.4 см и 3,0 см, и углу между второй и третьей сторонами, содержащему 102°.
4. Четырёхугольник разделён диагональю на 2 треугольника, периметры которых равны 25 м и 27 м; периметр четырёхугольника равен 32 м. Найти длину проведённой диагонали.
Многоугольники.
1. Сколько диагоналей можно провести из одной вершины: 1) пятиугольника; 2) десятиугольника; 3) n-угольника?
2. Сколько получится треугольников, если провести все диагонали из одной вершины: 1) шестиугольника; 2) восьмиугольника; 3) n-угольника?
3. Сколько всего диагоналей можно провести 1) в пятиугольнике; 2) в десятиугольнике; 3) в n-угольнике?
4. Сколько сторон в многоугольнике, если число их в т раз больше числа диагоналей, проведенных из одной вершины? (т = 2; 4; 5.)
5. Сколько сторон имеет многоугольник, если число всех его диагоналей в т раз больше числа сторон? (т = 0,5; 1;2; 2,5.)
